Question

如图，在直角坐标系，点P的坐标为（-6,8）将OP绕点O顺时针旋转90°得到线段OP′.

（1）在图中画出OP′；

（2）点P′的坐标为               ；

（3）求线段PP′的长度.

Answer

（1）作图见解析; （2）（8，6）; （3）10．

【解析】

试题分析：（1）过点P作PA⊥x轴于A，在x轴正半轴上截取OB=PA，过点B作BP′⊥x轴，使BP′=OA，连接OP′，即为所求；

（2）根据点P的坐标求出OA、PA，再根据旋转的性质可得OP=OP′，然后求出∠APO=∠BOP′，利用“角角边”证明△AOP和△BP′O全等，根据全等三角形对应边相等可得OB=PA，P′B=OA，然后写出点P′的坐标即可；

（3）利用勾股定理列式求出OP，再根据等腰直角三角形的性质可得PP′=OP．

试题解析：（1）OP′如图所示:

（2）如图，∵点P的坐标为（-6，8），∴OA=6，PA=8.

∵旋转角是90°，∴∠AOP+∠BOP′=90°.

∵∠APO+∠AOP=90°，∴∠APO=∠BOP′.

在△AOP和△BP′O中，∠APO＝∠BOP′, ∠PAO＝∠OBP′＝90°, OP＝OP′,

∴△AOP≌△BP′O（AAS）.∴OB=PA=8，P′B=OA=6.

∴点P′的坐标为（8，6）.

（3）由勾股定理得，OP=,

∴PP′=OP=10．

考点：1. 作图-旋转变换;2. 全等三角形的判定和性质;3.勾股定理的应用．