Question

如图，已知⊙O的圆心O在射线PM上，PN切⊙O于Q，PO=20cm，∠P=30°，A、B两点同时从P点出发，点A沿PN方向移动，点B以4cm/s的速度沿PM方向移动，且直线AB始终垂直PN．设运动时间为t秒，求下列问题．（结果保留根号）

（1）求PQ的长

（2）当t为何值时直线AB与⊙o相切？

Answer

(1)；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）连接OQ，由PN切⊙O于Q，根据切线的性质可得OQ⊥PN，又由PO=20cm，∠P=30°，即可求得PQ的长；

（2）作OE⊥BA于E，由BA⊥PN，即可得四边形AHOQ是矩形，当矩形AEOQ是正方形时，直线BA与⊙O相切．即可求得PB与BA的长，然后分别从当PQ﹣PA=OQ时，直线BA第一次与⊙O相切与当PA﹣PQ=OQ时，直线BA第二次与⊙O相切去分析求解，即可求得答案．

试题解析：（1）【解析】
连结OQ，如图1

∵PN与⊙O相切于点Q，∴OQ⊥PN，∵∠P=30°，OP=20，∴OQ=10，在Rt△OPQ中，

；

（2）【解析】
设运动t秒，BP=4t，则AB=，AP=，

①如图2，当AB与⊙O切于点E时，连结OE，

∴OE⊥AB，又∵OQ⊥PN，AB⊥PN，∴四边形AEOQ是矩形，

∴OE=AQ=10，∴，∴，

②如图3，当A′B′与⊙O相切于点F时，连结OF，

∴OF⊥A′B′，又∵OQ⊥PN，AB⊥PN，∴四边形A′FOQ是矩形，∴OF=A′Q，∴，

∴，∴当t为秒或秒时，直线AB与⊙O相切．

考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．垂径定理．