Question

如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E．

（1）求证：∠BCD=∠CBD；

（2）若BE=4，AC=6，求DE的长．

Answer

(1)详见解析；（2）2.

【解析】

试题分析：（1）由题目条件OD⊥BC于E，可知OD平分弧BC（垂径定理），即弧BD=弧CD，∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠CBD是弧CD所对的圆周角，由圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等可以得到∠BCD=∠CBD;(2) 由题目条件OD⊥BC于E，可知OD平分弦BC（垂径定理），即BE= CE=4，所以BC=8，因为AB是⊙O的直径，所以∠C为直角，在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5，在Rt△OEB中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2.

试题解析：(1)∵OD⊥BC于E，

∴OD平分弧BC（垂径定理），即弧BD=弧CD，

又∵∠BCD是弧BD所对的圆周角，∠CBD是弧CD所对的圆周角，

由圆周角定理知∠BCD=∠CBD.

(2) ∵OD⊥BC于E，

∴OD平分弦BC（垂径定理），即BE= CE=4，BC=8，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠C为直角，

在Rt△ACB中，AC=6，BC=8，由勾股定理，AB=10，OB=5，

在Rt△OEB中，OB=5，BE=4，由勾股定理，OE=3，DE=OD-OE=2.

考点：1.圆周角定理和垂径定理；2.垂径三角形三边的关系.