Question

如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC．

（2）设△AQP面积为S（单位：cm²），求S与t的函数关系式

（3）是否存在某时刻t，使四边形BPQC的面积为△ABC面积的三分之二？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？

Answer

【解析】

试题分析：

（1）表示出AP、AQ，然后分∠AQP=90°和∠APQ=90°两种情况，利用∠A的余弦列式计算即可得解；

（2）先求出△ABC的面积，然后利用∠A的正弦求出点P到AQ的距离，再根据△APQ的面积公式列出方程，然后求出根的判别式△＜0，确定不存在；

（3）根据菱形的对角相等，对角线平分一组对角可得关于AB翻折时，∠A=∠APQ，过点Q作QD⊥AB于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD=AP，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出DQ，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解；关于AC翻折时，∠A=∠AQP，过点P作PE⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=AQ，然后利用∠A的余弦列式求出t的值，再根据正弦求出PE，然后根据S菱形=2S△APQ计算即可得解．

（4）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算．

试题解析：

【解析】
∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，

∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．

（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．

∵PQ∥BC，

∴，即，解得t=，

∵当t=s时，PQ∥BC．

（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．

∴PD∥BC，∴，即，解得PD=6﹣t．

 S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣）2+，

∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm2．

（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，

则有S△AQP=S△ABC，而S△ABC=AC·BC=24，∴此时S△AQP=12．

由（2）可知，S△AQP=﹣t2+6t，

∴﹣t2+6t=12，化简得：t2﹣5t+10=0，

∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，

∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．

如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，

∴，即，

解得：PD=6﹣t，AD=8﹣t，

∴QD=AD﹣AQ=8﹣t﹣2t=8﹣t．

在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，

即（8﹣t）2+（6﹣t）2=（2t）2，

化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=，

∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．

考点： 1.二次函数的解析式及二次函数的应用，2.二次函数的最大值和最小值，3.菱形的性质及判定