Question

（已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE。

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm²，求△ABF的周长；

（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。

Answer

(1)见解析；（2）24cm；（3）存在，过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）由四边形ABCD是矩形与折叠的性质，易证得△AOE≌△COF，即可得AE=CF，则可证得四边形AFCE是平行四边形，又由AC⊥EF，则可证得四边形AFCE是菱形；

由已知可得：S△ABF=AB•BF=24cm2，则可得AB2+BF2=（AB+BF）2-2AB•BF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），则可求得AB+BF的值，继而求得△ABF的周长．

过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点，首先证明四边形AFCE是菱形，然后根据题干条件证明△AOE∽△AEP，列出关系式．

试题解析：

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，

由折叠的性质可得：OA=OC，AC⊥EF，

在△AOE和△COF中，

∵  ，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形；

（2）∵四边形AFCE是菱形，

∴AF=AE=10cm，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴S△ABF=AB•BF=24cm2，

∴AB•BF=48（cm2），

∴AB2+BF2=（AB+BF）2-2AB•BF=（AB+BF）2-2×48=AF2=100（cm2），

∴AB+BF=14（cm）

∴△ABF的周长为：AB+BF+AF=14+10=24（cm）．

（3）证明：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．

当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，

∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF

∴四边形AFCE是菱形．

∴∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，

由作法得∠AEP=90°，

∴△AOE∽△AEP，

∴，则AE2=A0•AP，

∵四边形AFCE是菱形，

∴AO＝AC，

∴AE2=AC•AP，

∴2AE2=AC•AP．

考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.菱形的判定；3.矩形的性质．