Question

如图，AB是⊙O的弦，D是半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于F，且CE=CB。

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径。

Answer

(1)见解析；（2）30 °（3）.

【解析】

试题分析：（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线；

（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=BE=5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，进而求出⊙O的半径．

试题解析：

（1）证明：连接OB

∵OB=OA，CE=CB，

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90 °

∴∠OBA+∠ABC=90 °

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线．

（2）连接OF，AF，BF，

∵DA=DO，CD⊥OA，

∴△OAF是等边三角形，

∴∠AOF=60 °

∴∠ABF=∠AOF=30 °

（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，

∴EG=BE=5

又Rt△ADE∽Rt△CGE

∴sin∠ECG=sin∠A=，

∴CE==13

∴CG==12，

又CD=15，CE=13，

∴DE=2，

由Rt△ADE∽Rt△CGE得

∴AD==

∴⊙O的半径为2AD=．

考点：1.直线与圆的位置关系;2.等边三角形;3.相似三角形的性质.