Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD于点E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为8，CE=2，求CD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先连接OA，由BC为⊙O直径，CE⊥AD，∠CAD=∠B，易求得∠CAD+∠OAC=90°，即∠OAD=90°，则可证得AD是⊙O的切线；

（2）易证得△CED∽△OAD，然后设CD=x，则OD=x+8，由相似三角形的对应边成比例，可得方程：，继而求得答案．

试题解析：（1）证明：连接OA，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

∴∠B+∠ACB=90°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠CAD=∠B，

∴∠CAD+∠OAC=90°，

即∠OAD=90°，

∴OA⊥AD，

∵点A在圆上，

∴AD是⊙O的切线；

（2）∵CE⊥AD，

∴∠CED=∠OAD=90°，

∴CE∥OA，

∴△CED∽△OAD，

∴，CE=2，

设CD=x，则OD=x+8，

即，

解得x=，

经检验x=是原分式方程的解，

所以CD=．

考点: 1.切线的判定；2.解分式方程；3.相似三角形的判定与性质．