Question

已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝25，BC＝32.连接BD，AE⊥BD，垂足为E.

（1）求证：△ABE∽△DBC；

（2）求线段AE的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）15.

【解析】

试题分析：（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC，又∵∠AEB=∠C=90°，利用“AA”可证△ABE∽△DBC；（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE，根据△ABE∽△DBC，利用相似比求BE，在Rt△ABE中，利用勾股定理求AE.

试题解析：（1）证明：∵AB=AD=25，∴∠ABD=∠ADB.

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC. ∴∠ABD=∠DBC.

∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠C=90°。∴△ABE∽△DBC.

（2）∵AB=AD，又AE⊥BD，∴BE=DE. ∴BD=2BE.

由△ABE∽△DBC，得.

∵AB=AD=25，BC=32，∴，解得BE=20.

∴.

考点：1.直角梯形的性质；2.等腰三角形的性质；3.平行的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.勾股定理.