Question

如图，抛物线的顶点为Q，与轴交于A(-1，0)、B(5， 0)两点，与轴交于C点．

 

(1)直接写出抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；

 (2)在该抛物线的对称轴上求一点,使得△的周长最小.请在图中画出点的位置，并求点的坐标．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：(1) 抛物线与轴交于A(-1，0)、B(5， 0)两点,根据一元二次方程与二次函数的关系可得是的两根,根据根与系数的关系得b=4,c=5所以,配方得出写出顶点Q的坐标Q（2，9）.

（2）如图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.因为AC长为定值，所以,要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小. 而点A关于对称轴=1的对称点是点B（5，0），抛物线与y轴交点C的坐标为（0，5）.

∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小. 不妨设直线BC的解析式为y=k+5,

将B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，=-+5，与对称轴的交点就是P,所以=2时，y=3 ，即点P的坐标为（2，3）.

试题解析：(1) ，

∴Q（2 ，9）.

（2）如解析图，连接BC,交对称轴于点P,连接AP、AC.

∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小.

∵点A关于对称轴=1的对称点是点B（5，0），抛物线与y轴交点C的坐标为（0，5）.

∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小.

设直线BC的解析式为y=k+5,

将B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，

∴=-+5，  

∴当=2时，y=3 ，∴点P的坐标为（2，3）.

考点：1.抛物线顶点坐标.2. 抛物线的解析式.3. 物线的对称轴上求一点,使三角形的周长最小