Question

联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.

举例：如图1，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心.

（1）应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=，求∠APB的度数.

（2）探究：如图3，已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA的长.

Answer

（1）90°；（2）PA=2或PA=.

【解析】

试题分析：（1）连接PA、PB，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况利用等边三角形的性质求出PD与AB的关系，然后判断出只有情况③是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出∠APB=45°，然后即可求出∠APB的度数；

（2）先根据勾股定理求出AC的长度，根据准外心的定义，分①PB=PC，②PA=PC，③PA=PB三种情况，根据三角形的性质计算即可得解．

试题解析：（1）∵CD是等边三角形ABC的高

∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=BD

∵PD=AB

∴PD=AD=BD

又∵∠ADC=∠BDC=90°

∴∠APD=∠BPD=45°

∴∠APB=90°

（2）∵△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3

∴AC=4.

①若PA=PB，在Rt△ABC中不可能，排除；

②若PA=PC则PA=2；

③若PB=PC，连接PB，设PA=x，则PB=PC=4－x

在Rt△ABP中有,即

解得：，  即PA=

综上所述：PA=2或PA=

考点: 1.线段垂直平分线的性质；2.等边三角形的性质；3.等腰直角三角形．