Question

如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x²+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；

（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由

Answer

(1)y=x2﹣3x；（2）（4，4）；（3）存在，点P 的坐标为（2，﹣2），△POB的面积是8.

【解析】

试题分析：（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式.

（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可.

（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积.

试题解析：

（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1.

∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x.

（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，

令x2﹣3x=0，解得：x=0或3.∴AO=3.

∵△AOB的面积等于6，∴AO•BD=6.∴BD=4.

∵点B在函数y=x2﹣3x的图象上，

∴4=x2﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）.

又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，

∴x轴下方不存在B点.

∴点B的坐标为：（4，4）.

（3）存在.

∵点B的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，.

若∠POB=90°，则∠POD=45°.

设P点坐标为（x，x2﹣3x）.

∴.

若，解得x=4 或x=0（舍去）.此时不存在点P（与点B重合）.

若，解得x=2 或x=0（舍去）.

当x=2时，x2﹣3x=﹣2.

∴点P的坐标为（2，﹣2）.

∴.

∵∠POB=90°，∴△POB的面积为： PO•BO=××=8.

考点：二次函数综合题.