Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.

（1）求证：∠BCA=∠BAD；

（2）求DE的长；

（3）求证:BE是⊙O的切线.

Answer

（1）见解析；（2）；(3)见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由圆周角定理∠BCA=∠BDA即可得出结论.

（2）判断△BED∽△CBA，利用对应边成比例的性质可求出DE的长度.

（3）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断OB⊥DE，可得出结论.

试题解析：（1）证明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD.

∵∠BCA=∠BDA（圆周角定理），

∴∠BCA=∠BAD.

（2）∵∠BDE=∠CAB（圆周角定理），∠BED=∠CBA=90°，

∴△BED∽△CBA，∴.

∵BD=BA =12，BC=5，∴根据勾股定理得：AC=13.

∴，解得：.

（3）证明：连接OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵，

∴△ABO≌△DBO（SSS）.

∴∠DBO=∠ABO.

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC.∴OB∥ED.

∵BE⊥ED，∴EB⊥BO.∴OB⊥BE.

∵OB是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线.

考点：1.切线的判定；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定与性质．