Question

如图，点C是以AB为直径的⊙O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D．

（1）求证：AC平分∠BAD；

（2）若CD=1，AC=，求⊙O的半径长．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由OA=OC得∠ACO=∠CAO，由切线的性质得出OC⊥CD，根据垂直于同一直线的两直线平行得到AD∥CO，由平行线的性质得∠DAC=∠ACO，等量代换后可得∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD.

过点O作OE⊥AC于E．先在Rt△ADC中，由勾股定理求出AD=3，由垂径定理求出AE=，再根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△ADC，由相似三角形对应边成比例得到，求出AO=，即⊙O的半径为.

试题解析：（1）证明：如图，连接OC，

∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO.

∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD.

又∵AD⊥CD，∴AD∥CO.

∴∠DAC=∠ACO.

∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠BAD.

（2）如图，过点O作OE⊥AC于E．

在Rt△ADC中，，

∵OE⊥AC，∴AE=AC=.

∵∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=90°，

∴△AEO∽△ADC.

∴，即，

∴AO=，即⊙O的半径为.

考点：1.垂径定理的性质；2.相似三角形的性质.