Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c(a＞0)的图象经过点B(12,0)和C(0，-6），对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点D在线段AB上且AD=AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；

(3)在（2）的结论下，直线x=1上是否存在点M，使△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由.

Answer

【解析】

试题分析：（1）把点B、C的坐标代入抛物线解析式，根据对称轴解析式列出关于a、b、c的方程组，求解即可；（2）根据抛物线解析式求出点A的坐标，再利用勾股定理列式求出AC的长，然后求出OD，可得点D在抛物线对称轴上，根据线段垂直平分线上的性质可得∠PDC=∠QDC，PD=DQ，再根据等边对等角可得∠PDC=∠ACD，从而得到∠QDC=∠ACD，再根据内错角相等，两直线平行可得PQ∥AC，再根据点D在对称轴上判断出DQ是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DQ=AC，再求出AP，然后根据时间=路程÷速度求出点P运动的时间t，根据勾股定理求出BC，然后求出CQ，根据速度=路程÷时间，计算即可求出点Q的速度．（3）假设存在这样的点M，使得△MPQ为等腰三角形，那么就需要要分类讨论：①当MP=MQ，即M为顶点；②；当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点；③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.进行分类求解即可.

试题解析：【解析】
方法一：∵抛物线过C(0,-6)

∴c=－6, 即y=ax2+bx－6

由 ，解得：a= ,b=－

∴该抛物线的解析式为y=x2－x－6；

方法二：∵A、B关于x=2对称

∴A（－8，0），设y=a(x＋8)(x－12) 

 C在抛物线上，∴－6=a×8×(－12)  即a=

∴该抛物线的解析式为：y=x2－x－6.

（2）存在，设直线CD垂直平分PQ,

在Rt△AOC中，AC==10=AD

∴点D在对称轴上，连结DQ  显然∠PDC=∠QDC，

由已知∠PDC=∠ACD，

∴∠QDC=∠ACD，∴DQ∥AC，

DB=AB－AD=20-10=10

∴DQ为△ABC的中位线，∴DQ=AC=5.

AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5

∴t=5÷1=5(秒) 

∴存在t=5(秒)时，线段PQ被直线CD垂直平分,

在Rt△BOC中, BC==6  ∴CQ=3 

∴点Q的运动速度为每秒单位长度.

（3）存在  过点Q作QH⊥x轴于H，则QH=3，PH=9

在Rt△PQH中，PQ==3.

①当MP=MQ，即M为顶点，

设直线CD的直线方程为：y=kx+b(k≠0),则：

  ,解得：.

∴y=3x-6

当x=1时，y=－3 , ∴M1(1, －3).

②当PQ为等腰△MPQ的腰时，且P为顶点.

设直线x=1上存在点M(1,y) ,由勾股定理得：

42+y2=90   即y=±

∴M2（1，）   M3（1，－）.

③当PQ为等腰△MPQ的腰时，且Q为顶点.

过点Q作QE⊥y轴于E，交直线x=1于F，则F(1, －3)

设直线x=1存在点M(1,y), 由勾股定理得：

(y＋3)2+52=90  即y=－3±

∴M4(1, －3＋)   M5((1, －3－) .

综上所述：存在这样的五点：

M1(1, －3),  M2（1，）,  M3（1，－）,  M4(1, －3＋),

M5((1, －3－)

考点：二次函数综合题.