Question

如图，半圆中，将一块含的直角三角板的角顶点与圆心重合，角的两条边分别与半圆圆弧交于两点（点在内部），与交于点,与交于点.

(1)求的度数;

(2)若是的中点，求的值;

(3)若,求的长.

Answer

（1）证明见解析；(2) ;

【解析】

试题分析：（1）连接AC，根据直径所对的圆周角为直角可知,根据圆周角定理可知，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得到,在直角三角形再根据直角三角形内角和定理可知=；(2)根据点C是弧AD的中点，及半径的性质，可以得到，得到角的性质可知，所以的到比例线段；（3）结合前面两问的结论，可以首先证明两个三角形相似，然后结合直角三角形的勾股定理可以求得线段长.

试题解析：解  （1）如图，连接.

 是直径，

,

,

,

，

（2） 是的中点，是半径，

,

,

,

即,

即  (或) ；

（3） 连接，过点作的垂线，垂足为,

设，

则 

在中，,

，

 ,,

∽,

,

即,

在中，由勾股定理，,

即，

即，

解得：（不合题意，舍去），，

.

考点：1.圆周角定理；2.三角形的相似；3.勾股定理；4.垂径定理.