Question

在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中.

（1）如图1，如果N是AD中点，F为AB中点，连接DF，CN.

①求证：DF=CN；

②连接AC.求DH:HE: EF的值；

（2）如图2，如果点E、M分别是线段AC、CD上的动点，假设点E从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，同时点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，运动时间为t（t＞0），连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N. 判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由. （4分）

Answer

（1）①证明见解析；②6:4:5；（2）该命题为真命题.

【解析】

试题分析：（1）①已知题中告诉的结论四边形为正方形，那么就知道AD=CD，,又知道N是AD中点，F为AB中点，那么就可以得到AF=DN，由此证明△ADF≌△DCN，然后根据全等三角形的性质即可得到结论；②可以根据三角形面积之比来确定线段比例，可以将三条线段归结到一个大的三角形ADF中去，然后设出未知数来求解；（2）要判断命题是否正确，我们采用的方法有两种：一是反证法；二是直接证明，本题中可以采用直接证明法，结合三角形的全等以及线段比例的性质，设出比例系数即可得到问题的答案.

试题解析：（1）①易证△ADF≌△DCN，则DF=CN；

②6:4:5

（2）该命题为真命题.

过点E作EG⊥AD于点G，

依题意得，AE=，易求AG=EG=t，

CM=t，DG=DM=

易证△DGE≌△MDN，∴，

由△ADF∽△DMN，得，

又∵点F是线段AB中点，AB=AD，

∴，∴DM=2DN，即点M是CD的三等分点.

考点：1.正方形；2.三角形全等；3.相似三角形的性质.