Question

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），

解答下列问题：

（1）当为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）设△BPQ的面积为S（cm²），求S与的函数关系式；

（3）作QR∥BA交AC于点R，连结PR，当为何值时，△APR∽△PRQ ？

Answer

（1）或3；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：(1) 分两种情况考虑：（i）当PQ⊥BC时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值；（ii）当QP⊥AB时，如图所示，由速度是1厘米/秒，时间是t秒，利用速度×时间=路程表示出AP与BQ的长，再由AB-AP表示BP，由三角形ABC为等边三角形，得到∠B=60°，在直角三角形BPQ中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，综上，得到所有满足题意的t的值．

(2)根据∠B为60°特殊角，过Q作QE⊥AB，垂足为E，则BQ、BP、高EQ的长可用t表示，S与t的函数关系式也可求；

（3）由题目线段的长度可证得△CRQ为等边三角形，进而得出四边形EPRQ是矩形，由△APR∽△PRQ，可得出∠QPR=60°，利用60°的特殊角列出一方程即可求得t的值．

试题解析：（1）分两种情况考虑：（i）当PQ⊥BC时，如图1所示：

由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-t）厘米，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=60°，

在Rt△BPQ中，

即，

解得：t=（秒）；

（ii）当QP⊥AB时，如图2所示：

由题意可得：AP=tcm，BQ=2t厘米，BP=（6-2t）厘米，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=60°，

在Rt△BPQ中，，即，

解得：t=3（秒），

综上所述，t=或3时，△BPQ为直角三解形；

（2）如图3，过Q作QE⊥AB，垂足为E

由QB=2t，得QE=2t•sin60°=

由AP=t，得PB=6-t

∴S△BPQ=×BP×QE=（6-t）×=

（3）如图4，∵QR∥BA，

∴∠QRC=∠A=60°，∠RQC=∠B=60°

∴△QRC是等边三角形，

∴QR=RC=QC=6-2t，

∵BE=BQ•cos60°=×2t=t，

∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t，

∴EP∥QR，EP=QR，

∴四边形EPRQ是平行四边形，

∴PR=EQ=

又∵∠PEQ=90°，

∴∠APR=∠PRQ=90°，

∵△APR∽△PRQ，

∴∠QPR=∠A=60°，

∴，即，

解得，

∴时，△APR∽△PRQ．

考点: 等边三角形的性质；一元一次方程的应用．