Question

在平面直角坐标系xOy中，点、分别在轴、轴的正半轴上，且，点为线段的中点．

（1）如图1，线段的长度为________________；

（2）如图2，以为斜边作等腰直角三角形，当点在第一象限时，求直线所对应的函数的解析式；

（3）如图3，设点、分别在轴、轴的负半轴上，且，以为边在第三象限内作正方形，请求出线段长度的最大值，并直接写出此时直线所对应的函数的解析式．

Answer

（1）5 （2）直线OC所对应的函数解析式为（3）线段MG取最大值10+．

此时直线MG的解析式

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得线段的长度为5.

以为斜边作等腰直角三角形，当点在第一象限时,过点C分别作CP⊥x轴于P，CQ⊥y轴于Q．

所以∠CQB=∠CPA=90°，又有∠QOP=90°，∠QCP=90°．∠BCA=90°，∠BCQ=∠ACP．BC=AC，

可证得△BCQ≌△ACP．从而得CQ=CP．不妨设C点的坐标为(a，a)(其中)．

设直线OC所对应的函数解析式为，，解得k=1，所以直线OC所对应的函数解析式为（3）取DE的中点N，连结ON、NG、OM.因为∠AOB=90°，所以OM=．同理得ON=5．

在正方形DGFE，N为DE中点，DE=10，由勾股定理得NG=．在点M与G之间总有MO+ON+NG由于∠DNG的大小为定值，只要,且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线,此时等号成立.这时线段MG取最大值10+．

此时直线MG的解析式

试题解析：（1）5

（2）如图1,过点C分别作CP⊥x轴于P，CQ⊥y轴于Q．

∴∠CQB=∠CPA=90°，

∵∠QOP=90°，

∴∠QCP=90°．

∵∠BCA=90°，

∴∠BCQ=∠ACP．

∵BC=AC，

∴△BCQ≌△ACP．

∴CQ=CP．

∵点在第一象限,

∴不妨设C点的坐标为(a，a)(其中)．

设直线OC所对应的函数解析式为，

∴，解得k=1，

∴直线OC所对应的函数解析式为．           4分

（3）取DE的中点N，连结ON、NG、OM.

∵∠AOB=90°，

∴OM=．

同理ON=5．

∵正方形DGFE，N为DE中点，DE=10，

∴NG=．

在点M与G之间总有MO+ON+NG(如图2)，

由于∠DNG的大小为定值，只要,且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线,此时等号成立（如图3）.

∴线段MG取最大值10+．

此时直线MG的解析式

考点：1.直角三角形斜边中线等于斜边一半,2.在直角坐标系中求点的坐标,3.待定系数法求一次函数解析式.