Question

如图，在Rt中，，以AC为直径的⊙O交AB于点D，E是BC的中点．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）过点E作EF⊥DE，交AB于点F．若AC=3，BC＝4，求DF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连结OD，CD，求出DE=CE=BE，推出∠1+∠3=∠2+∠4，求出∠ACB=∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．

（2）根据勾股定理求出AB=5，解直角三角形得出cosB=，求出DE，推出∠EDF=∠B，解直角三角形求出即可．

试题解析：（1）证明：连结OD，CD．

∵是直径，

∴．

∴．

∵E是BC的中点，

∴．

∴．

∵OC=OD,

∴∠3 =∠4 ，

∴．

即．

∵,

∴.

又∵是半径，

∴DE是⊙O的切线．

（2）【解析】
在Rt△ABC中，

∵，AC=3，BC＝4，

∴AB=5．           4分

∴．

∵E是BC的中点，

∴．   5分

∴．

∴．

∴．

考点: 1.切线的判定；2.解直角三角形.