Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，以点M(1,-1)为圆心，以为半径作圆，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，二次函数的图象经过点A、B、C，顶点为E.

（1）求此二次函数的表达式；

（2）设∠DBC＝a，∠CBE＝b，求sin（a－b）的值；

（3）坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) ；（2）；（3）P1（0，0），P2（0，），P3（9，0）.

【解析】

试题分析：（1）由M（1，-1）为圆心，半径为可求出A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，1），把A、B、C三点代入二次函数解析式求出a、b、c的值即可；

（2）在Rt△BCE中与Rt△BOD中可求出∠CBE＝∠OBD＝b，故sin（a－b）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC=；

（3）存在，Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2 ∽Rt△BCE，得P2（0，），过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），.

试题解析：（1）∵M（1，-1）为圆心，半径为

∴OA=1，OB=3，OC=3，OD=1，

∴A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）、D（0，1）

把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入二次函数y=ax2+bx+c

解得：a=1，b=-2，c=-3

∴ 二次函数表达式为

（2）过点E作EF⊥y轴于点F

∵

∴可得

∵点E为二次函数的顶点

∴点E的坐标为

∴

∵

∴∠OCB=∠ECF=45º

∴∠BCE=90º

∵在Rt△BCE中与Rt△BOD中，

，

∴∠CBE＝∠OBD＝b，

∴ sin（a－b）＝sin（∠DBC－∠OBD）＝sin∠OBC＝

（3）显然 Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）

过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2 ∽Rt△BCE，得P2（0，）

过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）

故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与BCE相似

考点:1.二次函数解析式；2.相似三角形的判定与性质．