Question

已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．则        （填“<”或“=”或“>”）；

（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：

当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得=成立？并证明你的结论；

（3）如图3，若BA=BC= 3，DA=DC= 4，∠BAD= 90°，DE⊥CF．则的值为         ．

图1                      图2                      图3

Answer

（1）=；（2）∠B=∠EGC；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可； 

（2）当∠B+∠EGC=180°时，成立，证△DFG∽△DEA，得出，证△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案； 

（3）过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，证△BCM∽△DCN，求出CM=x，在Rt△CMB中，由勾股定理得出，代入得出方程，求出CN=，证出△AED∽△NFC，即可得出答案． 

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠FDC=90°，

∵CF⊥DE，

 ∴∠DGF=90°，

∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，

∴∠CFD=∠AED，

∵∠A=∠CDF，

∴△AED∽△DFC，

 ∴，即=.

（2）当∠B+∠EGC=180°时，=成立．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠ADC，AD∥BC，

∴∠B+∠A=180°，

∵∠B+∠EGC=180°，

 ∴∠A=∠EGC=∠FGD，

∵∠FDG=∠EDA，

 ∴△DFG∽△DEA，

∴，

∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，

 ∴∠CGD=∠CDF，

∵∠GCD=∠DCF，

∴△CGD∽△CDF，

 ∴，

∴，

∴，

即当∠B+∠EGC=180°时，成立．

（3）【解析】
．

理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN=x，

∵AB⊥AD，

∴∠A=∠M=∠CNA=90°，

 ∴四边形AMCN是矩形，

∴AM=CN，AN=CM，

∵在△BAD和△BCD中

∴△BAD≌△BCD（SSS），

 ∴∠BCD=∠A=90°，

∴∠ABC+∠ADC=180°，

∵∠ABC+∠CBM=180°，

∴∠CBM=∠ADC，

∵∠CND=∠M=90°，

∴△BCM∽△DCN，

∴，

∴

∴

在Rt△CMB中，，BM=AM﹣AB=x﹣6，由勾股定理得：，

 ∴，

解得 x=0（舍去），x=

∴CN=，

∵∠A=∠FGD=90°，

 ∴∠AED+∠AFG=180°，

∵∠AFG+∠NFC=180°，

 ∴∠AED=∠CFN，

∵∠A=∠CNF=90°，

∴△AED∽△NFC，

∴

考点: 相似三角形综合题.