Question

如图,已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点(B在A的左侧),顶点为C, 点D（1,m）在此二次函数图象的对称轴上,过点D作y轴的垂线,交对称轴右侧的抛物线于E点．

（1）求此二次函数的解析式和点C的坐标；

（2）当点D的坐标为（1,1）时,连接BD、．求证：平分；

（3）点G在抛物线的对称轴上且位于第一象限,若以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,求点E的横坐标．

Answer

（1）二次函数的解析式为； C（1,-4）；

（2）平分；

（3）E点的横坐标为或或或..

【解析】

试题分析：【解析】
（1）∵点D（1,m）在图象的对称轴上,

∴．

∴．

∴二次函数的解析式为．

∴C（1,-4）．  

（2）∵D（1,1）,且DE垂直于y轴,

∴点E的纵坐标为1,DE平行于x轴．

∴．

令,则,解得．

∵点E位于对称轴右侧,

∴E．

∴D E =．

令,则,求得点A的坐标为（3,0）,点B的坐标为（-1,0）．

∴BD =．

∴BD = D E．

∴ ．

∴ ．

∴平分．

（3）∵以A、C、G为顶点的三角形与以G、D、E为顶点的三角形相似,

且△GDE为直角三角形,

∴△ACG为直角三角形．       

∵G在抛物线对称轴上且位于第一象限,

∴．

∵A（3,0）C（1,-4）,,

∴求得G点坐标为（1,1）．

∴AG=,AC=．

∴AC=2 AG.

∴GD=2 DE或 DE =2 GD.

设（t >1） ,

.当点D在点G的上方时,则DE=t -1,

GD = ()=.

i.如图,当 GD=2 DE时,

则有, = 2(t-1).

解得,.(舍负)

ii. 如图3当DE =2GD时,

则有,t -1=2().

解得,.(舍负)

. 当点D在点G的下方时,则DE=t -1,

  GD=1- ()= -.

i. 如图,当 GD=2 DE时,

则有, =2（t -1）.

解得,.(舍负) 

ii. 如图,当DE =2 GD时,

则有,t-1=2（）.

解得,.(舍负)  

综上,E点的横坐标为或或或.

考点：抛物线相关.