Question

阅读下面的材料：

小明遇到一个问题：如图（1），在□ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G.  如果，求的值.

他的做法是：过点E作EH∥AB交BG于点H，则可以得到△BAF∽△HEF.

请你回答：（1）AB和EH的数量关系为     ，CG和EH的数量关系为     ，的值为     .

（2）如图（2），在原题的其他条件不变的情况下，如果，那么的值为     （用含a的代数式表示）.

（3）请你参考小明的方法继续探究：如图（3），在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上一点，AE和BD相交于点F. 如果，那么的值为     （用含m，n的代数式表示）.

Answer

（1）,, ；（2）；（3）. 

【解析】

试题分析：本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．（1）根据△BAF∽△HEF,可知两三角形的相似比是3:1，所以AB=3EH；由EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，故△BCG∽△BEH，而E为BC的中点，所以两三角形的相似比为2:1，所以CG=2EH；由平行四边形对边相等得，AB=CD,所以.

根据（1）的分析，易得.（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如下图所示．

试题解析：

【解析】
（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．则有△ABF∽△HEF，

∴,即AB=3EH

∵EH∥AB、CD∥AB可得EH∥CD，

∴△BCG∽△BEH，

又∵E为BC的中点，

∴CG=2EH；

∴

故填空依次为：,, .

同理根据（1）可以发现：，；

∴

故填空为 .

如上图所示，过点E作EH//AB交BD的延长线于点H，则有EH//AB//CD

∵EH//CD

∴△BCD∽△BEF,

∴,即

又∵

∴

∵EH//AB

∴△ABF∽△EHF

∴

故填空为：.

考点：1、相似形综合题；2、平行四边形的性质；3、梯形；4、相似三角形的判定与性质．