Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为4，BE=2，求∠F的度数.

Answer

（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：如图，（1）求证DE是⊙O的切线，可连接OD证明OD⊥ED即可.可由AB=AC、OD=OC得到，进而可得平行线∥；此时易证；（2）连接AD.由AC为⊙O的直径得，可证Rt∽Rt，进而得到：；由⊙O的半径为4，可求出.

在Rt中，由，所以；进而得到等边三角形，所以.

试题解析：

（1）证明：连接OD.

∵AB=AC,

∴.

∵OD=OC,

∴.

∴.

∴∥.

∴. 

∵DE⊥AB,

∴.

∴.

∴.

∴DE是⊙O的切线.

（2）【解析】
连接AD.

∵AC为⊙O的直径，

∴.

又∵DE⊥AB,

∴Rt∽Rt. 

∴.

∴.

∵⊙O的半径为4，

∴AB=AC=8.

∴.

∴.

在Rt中，

∵，

∴.

又∵AB=AC,

∴是等边三角形.

∴

∴.

考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数；4、等边三角形的判定.