Question

在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x²+(m-1)x+4m的图象与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B（0，4），已知点E（0，1）．

（1）求m的值及点A的坐标；

（2）如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连结A′B、BE′．

①当点E′落在该二次函数的图象上时，求AA′的长；

②设AA′=n，其中0＜n＜2，试用含n的式子表示A′B²+BE′²，并求出使A′B²+BE′²取得最小值时点E′的坐标；

③当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标．

Answer

（1）m=1,A(-2,0); (2)①,②点E′的坐标是（1，1）,③点E′的坐标是（，1）．

【解析】

试题分析：(1)将点代入解析式即可求出m的值，这样写出函数解析式，求出A点坐标；

（2）①将E点的坐标代入二次函数解析式，即可求出AA′；②连接EE′，构造直角三角形，利用勾股定理即可求出A′B2+BE′2  当n=1时，其最小时，即可求出E′的坐标；③过点A作AB′⊥x轴，并使AB′ = BE = 3．易证△AB′A′≌△EBE′，当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B + B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，由相似就可求出E′的坐标

试题解析：

【解析】
（1）由题意可知4m=4，m=1．

∴二次函数的解析式为．

∴点A的坐标为（-2,0）．

（2）①∵点E（0,1），由题意可知，

．

解得．

∴AA′=．

②如图，连接EE′．

由题设知AA′=n（0＜n＜2），则A′O=2-n．

在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，

得A′B2=(2–n)2+42=n2-4n+20．

∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，

∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．

∴∠BEE′=90°，EE′=n．

又BE=OB-OE=3.

∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=n2+9，

∴A′B2+BE′2=2n2-4n+29=2(n–1)2+27．

当n=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时点E′的坐标是（1，1）．

③如图，过点A作AB′⊥x轴，并使AB′=BE=3．

易证△AB′A′≌△EBE′，

∴B′A′=BE′，

∴A′B+BE′=A′B+B′A′．

当点B，A′，B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．

易证△AB′A′∽△OBA′，

∴，

∴AA′=，

∴EE′=AA′=，

∴点E′的坐标是（，1）．

考点：1.二次函数综合题；2.平移.