Question

如图，直角△ABC中，∠C=90°，AB=2，sinB=，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连结AP．

（1）求、的长；

（2）设的长为，的面积为．当为何值时，最大并求出最大值．

Answer

(1)2，4；（2）2，1.

【解析】

试题分析：（1）在Rt△ABC中，根据∠B的正弦值及斜边AB的长，可求出AC的长，进而可由勾股定理求得BC的长；

（2）由于PD∥AB，易证得△CPD∽△CBA，根据相似三角形得出的成比例线段，可求出CD的表达式，也就求出AD的表达式，进而可以AD为底、PC为高得出△ADP的面积，即可求出关于y、x的函数关系式，根据所得函数的性质，可求出y的最大值及对应的x的值．

试题解析：（1）在Rt△ABC中，， ， 

得 ，

∴AC=2，

根据勾股定理得：BC=4；

（2）∵PD∥AB，

∴△ABC∽△DPC，

∴；

设PC=x，则， ，

∴

∴当x=2时，y的最大值是1．

考点：1.二次函数的最值；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质.