Question

当时，下列关系式中有且仅有一个正确.

A.

B.

C.

（1）正确的选项是       ；

（2）如图1，△ABC中， ，请利用此图证明（1）中的结论；

（3）两块分别含 和的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，，求.

Answer

（1）C；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）先做（2），根据特殊元素法得出结论；（2）构造直角三角形，过A、C点作AD⊥BC交BC的延长线于点D，CE⊥AB于E，根据三角函数知识，可用α表示出AB的长度，再表示出AE和BE的长度，AB=AE+BE，分别让带有α两式相等即可；（3）要求三角形的面积，必须找到三角形的一边和这条边上的高；过点A作AG⊥CD交CD的延长线于G点．根据题意可知CD和AD的长度，和∠ADG的度数，根据上述得出的结论，可以求出∠的正弦值，在直角三角形ADG中，AD已知，根据三角函数关系式即可得出AG的长度，代入S△ADC的面积公式即可．

试题解析：（1）C．

（2）如图1，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D．

∵∠B=30°，∠BAC=α，AC=1，∴∠ACD=α+30°．

∴在△ADC中，∠ADC=90°，AD=AC•sin∠ACD=sin（α+30°）．

∵在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，∴AB=2AD=2sin（α+30°）.

过点C作CE⊥AB于E．

∴在△CEA中，∠AEC=90°，CE=sinα，AE=cosα．

在△BEC中，∠BEC=90°，．

∴AB=AE+BE=cosα+ ．

∴．

（3）由（2）证明的等式易得．

如图2，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G．

∵△ABD和△BCD是两个含45°和30°的直角三角形，，∴∠ADG=75°，AD=8，CD＝．

∵．

∴在△ADG中，∠AGD=90°，AG＝AD•sin∠ADG＝8×sin75°＝．

∴．

考点：1.解直角三角形；2.三角形外角性质；3. 锐角三角函数定义；4.特殊角的三角函数值；5.三角形面积．