Question

已知：如图1，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线、切点为C，直线PO与⊙O相交于点A、B．

（1）试探求∠BCP与∠P的数量关系；
（2）若∠A=30°，则PB与PA有什么数量关系？
（3）∠A可能等于45°吗？若∠A=45°，则过点C的切线与AB有怎样的位置关系？（图2供你解题使用）
（4）若∠A＞45°，则过点C的切线与直线AB的交点P的位置将在哪里？（图3供你解题使用）

Answer

（1）根据圆周角定理可知∠BCP=∠A，由三角形内角和定理即可求出答案；
（2）根据圆周角定理可知∠BCP=∠A=30°，则∠ACP=120°，∠P=30°，连接OC，则OA=OB=BP=BC，故PA=3PB；
（3）若∠A不可以等于45°，根据圆周角定理可知∠1=45°，过点C的切线与AB平行；
（4）若∠A＞45°，则根据圆周角定理可知∠1＞45°，∠PCA＜45°，过点C的切线与直线AB的交点P在AB的反向延长线上．
【解析】
（1）∠BCP=∠A，∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCP=；（3分）

（2）若∠A=30°，
∴∠BCP=∠A=30°，
∴∠P=30°
∴PB=BC，BC=AB⇒PB=PA或PA=3PB；（6分）

（3）∠A不可以等于45°，
如图所示，当∠A=45°时，过点C的切线与AB平行；（8分）

（4）若∠A＞45°，则过点C的切线与直线AB的交点P在AB的反向延长线上．