Question

如图，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B，AC、AD分别是两圆的直径，
（1）C、B、D三点在同一直线吗？为什么？
（2）当⊙O₁和⊙O₂满足什么条件时，所得图中的△ACD是等腰三角形．

Answer

（1）连接AB、BC、BD，由于AC、AD都是直径，由圆周角定理易知∠ABC=∠ABD=90°，则∠ABC与∠ABD互补，由此可证得B、C、D三点共线；
（2）若△ACD是等腰三角形，则有三种情况：
①AC=AD，此时两圆的直径相等；
②AC=CD，若连接CO2，根据等腰三角形三线合一的性质得CO2⊥AD，那么此时点O2应在⊙O1上；
③AD=CD，同②．
【解析】
（1）连接AB、BC、BD
∵AC、AD是⊙O1和⊙O2的直径
∴∠ABC=90°，∠ABD=90°（2分）
∴∠CBD=∠ABC+∠ABD=180°（3分）
∴C、B、D三点在同一条直线上；（4分）

（2）①当⊙O1与⊙O2的直径相等，即AC=AD时所得图中的△ACD是等腰三角形；
②当O2在⊙O1上时，
连接CO2∵AC是⊙O1的直径，∴∠AO2C=90°
∴CO2⊥AD（5分）
又O2A=O2D
∴CA=CD（6分）
于是当O2在⊙O1上时，△ACD是等腰三角形；
③同②当O1在⊙O2上时，可得DA=DC，所得图中的△ACD是等腰三角形．（8分）