Question

如图，已知直线AB与x轴、y轴分别交于A和B，OA=4，且OA、OB长是关于x的方程x²-mx+12=0的两实根，以OB为直径的⊙M与AB交于C，连接CM．
（1）求⊙M的半径．
（2）若D为OA的中点，求证：CD是⊙M的切线．

Answer

（1）由OA、OB长是关于x的方程x2-mx+12=0的两实根，得OA•OB=12，而OA=4，所以OB=3，又由于OB为⊙M的直径，即可得到⊙M的半径．
（2）连MD，OC，由OB为⊙M的直径，得∠OCB=90°，则∠OCD=90°，由于D为OA的中点，所以CD=OA=OD，因此可证明△MCD≌△MOD，所以∠MCD=∠MOD=90°，即CD是⊙M的切线．
（1）【解析】
∵OA、OB长是关于x的方程x2-mx+12=0的两实根，
∴OA•OB=12，而OA=4，
∴OB=3，
又∵OB为⊙M的直径，
∴⊙M的半径为．

（2）证明：连MD，OC，如图，
∵OB为⊙M的直径，
∴∠OCB=90°，
又∵D为OA的中点，
∴CD=OA=OD，
而MC=MO，MD公共，
∴△MCD≌△MOD，
∴∠MCD=∠MOD=90°，
所以CD是⊙M的切线．