Question

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2），∠BCO=60°，OH⊥BC于点H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t秒．
（1）求OH的长；
（2）若△OPQ的面积为S（平方单位）．求S与t之间的函数关系式．并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少；
（3）设PQ与OB交于点M．
①当△OPM为等腰三角形时，求（2）中S的值． 
②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论．

Answer

（1）由图知图形很特殊，利用直线的平行关系，求出直角，在直角三角形中解题，从而求出OH的长；
（2）由几何关系求出P点坐标，将△OPQ的面积为S用t来表示，转化为求函数最值问题；
（3）思维要严密，△OPM为等腰三角形时，要分三种情况来讨论；最后一问求出M点坐标，同样转化为函数最值问题．
【解析】
（1）∵AB∥OC
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2
∴OB=4，tan∠ABO=，
∴∠ABO=60°，
∵AB∥OC
∴∠BOC=60°
又∵∠BCO=60°
∴△BOC为等边三角形
∴OH=OBcos30°=4×=2；

（2）∵OP=OH-PH=2-t
∴xp=OPcos30°=3-t，
yp=OPsin30°=-t．
∴S=•OQ•xp=•t•（3-t）
=（0＜t＜2）
即S=-
∴当t=时，S最大=；

（3）①若△OPM为等腰三角形，则：
（i）若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=yp即t=-
解得：t=
此时S=
（ii）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，∴∠OQP=45°
过P点作PE⊥OA，垂足为E，则有：EQ=EP
即t-（-t）=3-t
解得：t=2
此时S=
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，∴PQ∥OA
此时Q在AB上，不满足题意．
②线段OM长的最大值为．