Question

某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电．已知居民小区A、B分别到主干线l的距离AA₁=2km，BB₁=1km，且A₁B₁=4km．
（1）如果居民小区A、B在主干线l的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？
（2）如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？

Answer

（1）连接AB，构造直角三角形，由勾股定理求得AB的值；
（2）作B点关于直线l的对称点B2，连接AB2交直线l于点M，此处即为分支点．
【解析】
（1）连接AB，AB与l的交点就是所求分支点M分支点开在此处，总线路最短．过B作l的平行线与AA1的延长线交于F，
设A1M=x，则MB1=4-x，

∵BB1⊥l，AA1⊥l，
∴∠BB1M=∠AA1M=90°，又∠AMA1=∠BMB1，
∴△B1BM∽△A1AM，
∴=，即=，
解得A1M=x=，
在直角三角形ABF中，AF=AA1+A1F=2+1=3，BF=B1A1=4，
由勾股定理得AB==5，
所以分支点M在线段A1B1上且距A1点千米处，最短线路的长度为5千米；

（2）如图（2），作B点关于直线l的对称点B2，连接AB2交直线l于点M，
此处即为分支点，
由（1）知，A1M长度为千米．