Question

已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．
（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图1），AF=，求DE的长；
（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图2），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．

Answer

（1）根据AF，AD的长可以求得DF的长，根据折叠知EF=AF，再根据勾股定理即可计算得到DE的长；
（2）根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，则折痕与AE的交点O即是其外接圆的圆心．设DE=x，根据三角形ADE的中位线定理求得OM=x，进一步表示出ON的长．根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径得到AE=2ON，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程求解．再根据直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的长，从而根据轴对称的性质得到FG=2OF．
【解析】
（1）在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°．
根据轴对称的性质，得EF=AF=．
∴DF=AD-AF=．
在Rt△DEF中，DE=．（3分）

（2）设AE与FG的交点为O．
根据轴对称的性质，得AO=EO．
取AD的中点M，连接MO．
则MO=DE，MO∥DC．
设DE=x，则MO=x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心．
延长MO交BC于点N，则ON∥CD．
∴∠CNM=180°-∠C=90°．
∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形．
∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-x．
∵△AED的外接圆与BC相切，
∴ON是△AED的外接圆的半径．
∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．
在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，
∴12+x2=（4-x）2．
解这个方程，得x=．（6分）
∴DE=，OE=2-x=．
根据轴对称的性质，得AE⊥FG．
∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=．
又AB∥CD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．
∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO．
∴FG=2FO=．
∴折痕FG的长是．（9分）