Question

在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB，已知OA=2，∠AOB=30度．D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设D、E两点的运动时间为t秒．
（1）点A的坐标为______

Answer

（1）由题意可知：OA=2，∠AOB=30°，则根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半，则AB=1，根据勾股定理可以求得OB=；所以可以求得点A与点B的坐标．
（2）如果连接DE，那么根据D、E两点的速度可得出OD：OE=，因此直角三角形ODE中，∠OED=60°，而已知了∠AOB=30°，即可得出OA⊥DE．
（3）本题只需考查直线DE过O，A两点时，t的取值即可．
（4）本题要分三种情况进行讨论．
①当0≤t≤时，重合部分是三角形．
②当＜t≤时，重合部分是四边形．
③当＜t≤时，重合部分是三角形．
可据此来求出S，t的关系式，以及S的最大取值．
【解析】
（1）由题意可知：OA=2，∠AOB=30°，则根据直角三角形中30°所对的边是斜边的一半，则AB=1，根据勾股定理可以求得OB=；则点A的坐标为（1，），点B的坐标为（0，）；

（2）垂直．
理由：连接DE，直角三角形ODE中，tan∠OED==，
∴∠OED=60°．
∵∠BOA=30°，
∴OA⊥ED．

（3）因为DE总是垂直于OA运动，因此可以看做直线DE沿OA方向进行运动．因此两者有公共点的取值范围就是O⇒A之间．
当DE过O点时，t=0．
当DE过A点时，直角三角形OAD中，OA=2，∠ODA=30°，因此OD=4，t=．
因此t的取值范围是0≤t≤．

（4）当0≤t≤时，S=t2；Smax=；
当＜t≤时，S=-t2-（-t）2=-（t-）2+，Smax=；
当＜t≤时，S=（2-t）2，S无最大值；
综上所述S的最大值为．