Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，BC=24，点P是BC边上的动点（点P与点B、C不重合），过动点P作PD∥BA交AC于点D．
（1）若△ABC与△DAP相似，则∠APD是多少度？
（2）试问：当PC等于多少时，△APD的面积最大？最大面积是多少？
（3）若以线段AC为直径的圆和以线段BP为直径的圆相外切，求线段BP的长．

Answer

（1）当△ABC与△DAP相似时，应有∠APD=∠B或∠APD=∠C，即∠APD为30°或60°．
（2）设PC=x，由PD∥BA，得∠BAC=∠PDC=90°，∴AC=BC•cos60°=12，CD=x•cos60°=x，
∴AD=12-x，而PD=x•sin60°=x，∴S△APD=PD•AD把PD，AD的值代入，得到S△APD=-（x-12）2+18．
∴PC等于12时，△APD的面积最大，最大面积是18．
（3）设以BP和AC为直径的圆心分别为O1、O2，过O2作O2E⊥BC于点E，设⊙O1的半径为x，则BP=2x，AC=12，
∴O2C=6，∴CE=6•cos60°=3．∴由勾股定理得，O2E=，O1E=21-x，
由于⊙O1和⊙O2外切，则圆心距O1O2=x+6．在Rt△O1O2E中，有O1O22=O2E2+O1E2，即（x+6）2=（21-x）2+（3）2，求解得到x的值，进而求得BP的值．
【解析】
（1）当△ABC与△DAP相似时，
∠APD的度数是60°或30°．

（2）设PC=x，
∵PD∥BA，∠BAC=90°，
∴∠PDC=90°，
又∵∠C=60°，
∴AC=24•cos60°=12，
CD=x•cos60°=x，
∴AD=12-x，而PD=x•sin60°=x，
∴S△APD=PD•AD=x•（12-x）=-（x2-24x）
=-（x-12）2+18．
∵a=-＜0，
∴抛物线的开口方向向下，有最大值，
即当x=12时，最大值是18，
∴PC等于12时，△APD的面积最大，最大面积是18．

（3）连接O1O2，设以BP和AC为直径的圆心分别为O1、O2，过O2作O2E⊥BC于点E，
设⊙O1的半径为x，则BP=2x，显然，AC=12，
∴O2C=6，
∴CE=6•cos60°=3，
∴O2E=，O1E=24-3-x=21-x，
又∵⊙O1和⊙O2外切，
∴O1O2=x+6，
在Rt△O1O2E中，有O1O22=O2E2+O1E2，
∴（x+6）2=（21-x）2+（3）2，
解得：x=8，
∴BP=2x=16．