Question

如图，已知AD是⊙O的切线，切点为D，AC经过圆心O，交⊙O于B，C两点，弦DE⊥AC，垂足为F，∠A=30°．
（1）求∠BED的度数；
（2）△DCE是否是等边三角形？请说明理由；
（3）若⊙O的半径R=2，试求CE的长．

Answer

（1）作辅助线，连接OD，根据切线的性质知：OD⊥AD，由∠A的度数，可知∠AOD的度数，进而可知∠BDE的度数；
（2）根据=，可得：ED=CD，根据BC为⊙O的直径可知：∠BEC=90°，再根据∠BED的度数，可求得∠DEC=60°，从而可证：△DCE是等边三角形；
（3）在Rt△BCE中，根据∠CBE的度数和BC的长，运用三角函数可将CE的长求出．
【解析】
（1）连接OD，
∵AD切⊙O于点D
∴OD⊥AD
∴∠ADO=90°
又∵∠A=30°
∴∠AOD=60°
∴∠BED=∠BCD=∠AOD=30°；

（2）△DCE是等边三角形，
理由如下：
∵BC为⊙O的直径且DE⊥AC
∴
∴CE=CD
∵BC是⊙O的直径
∴∠BEC=90°
∵∠BED=30°
∴∠DEC=60°
∴△DCE是等边三角形；

（3）∵⊙O的半径R=2，
∴直径BC=4，
由（2）知在Rt△BEC中，，
∴CE=BCsin60°==．