Question

如图，已知点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，与AB相交于点E．
（1）试判断AD是否平分∠BAC？并说明理由．
（2）若BD=3BE，CD=3，求⊙O的半径．

Answer

（1）本小题有多种证法；
方法1：作辅助线，连接OD；根据切线的性质知：OD⊥BC；由∠C=90°，可得：OD∥AC，∠1=∠2；再根据OA=OD，可得：∠2=∠3，从而得：∠1=∠3，故AD平分∠BAC；
方法2：作辅助线，连接ED；由AE为⊙O的直径，可知：∠ADE=∠3+∠AED=90；由∠C=90°，得：∠1+∠ADC=90°；再根据∠AED=∠ADC，可得：∠1=∠3，故AD平分∠BAC；
方法3，作辅助线，连接EF、DF；由AE为⊙O的直径，可知：∠AFE=90°；进而可证：EF∥BC，∠4=∠5；再根据∠4=∠3，∠1=∠5，从而可证：∠1=∠3，故AD平分∠BAC；
（2）解法1，根据切割线定理，可将AB的长求出，再根据OD∥AC，得出关于OB、OA、BD、BC的比例关系式；由此可将⊙O的半径求出；
解法2，作辅助线，过点O作OG⊥AC交AC于点G；根据OG∥BC，后同解法1．
【解析】
（1）判断：AD平分∠BAC．
证明：
证法一：连接OD；
∵BC切⊙O于D，
∴OD⊥BC，
又△ABC为Rt△，且∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠1=∠2；
又∵OA=OD，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3．

证法二：连接ED；
∵AE是⊙O直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠3+∠AED=90°；
又∵∠C=90°，
∴∠1+∠ADC=90°，
又∵∠AED=∠ADC，
∴∠1=∠3．

证法三：连接EF，DF；
∵AE是⊙O直径，
∴∠AFE=90°，
又∵∠ACE=90°，
∴∠AFE=∠ACB，
∴EF∥BC，
∴∠4=∠5；
又∵∠3=∠4，∠1=∠5，
∴∠1=∠3．

（2）
解法一：设BE=x，则BD=3BE=3x，
据切割线定理得BD2=BE×BA，
得AB=9x，OA=OE=4x；
又∵OD∥AC，
∴，即：，
∴x=，
∴⊙O的半径为5．

解法二：
如图，过O作OG⊥AC，又AC⊥BC，OD⊥BC，
则四边形ODCG为矩形．
∴OG=CD=3，OG∥BC；
又OG∥BC，
∴，
∴，
∴x=，x=0，（舍去）
∴⊙O的半径为5．
备注：本解法是在解法一得AB=9x，OA=OE=4x的基础上进行的．