Question

已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA：AB=1：2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）在切线DC上截取CE=CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明；
（3）利用图中已标明的字母，连接线段，找出至少5对相似三角形（不包含全等，不需要证明）．（多写者给附加分，附加分不超过3分，计入总分，但总分不超过120分．）

Answer

（1）根据DA：AB=1：2，得到DA等于圆的半径．连接过切点的半径，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识求解；
（2）连接OC．根据（1）中的结论，可以知道直角△COD有一个角为30°．根据圆周角定理发现∠ABC=30°，得到CD=BC，∠BCE=60°．进一步得到等边△BCE．则∠DBE=90°．根据切线的判定即可证明．
（3）根据上述求得的有关角的度数，找到30°的直角三角形以及等边三角形中的不全等但相似的三角形即可．
【解析】
（1）如图，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°．
设⊙O的半径为R，则AB=2R，
∵DA：AB=1：2，
∴DA=R，DO=2R．
在Rt△DOC中，sin∠CDO=．
∴∠CDO=30°，即∠CDB=30°．

（2）直线EB与⊙O相切．
证明：连接OC，
由（1）可知∠CDO=30°，
∴∠COD=60°．
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=30°．
∴∠CBD=∠CDB．
∴CD=CB．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCE=90°．
∴∠ECB=60°．
又∵CD=CE，
∴CB=CE．
∴△CBE为等边三角形．
∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°．
∴EB是⊙O的切线．

（3）如图，连接OE，
相似三角形有△CDO与△BDE，△CEO与△BDE，△BEO与△BDE，△CBA与△BDE，△OAC与△BCE，△DAC与△DCB与△DOE，△BOC与△DCB与△DOE．