Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD，∠BAD的平分线交BC于E，连接DE．
（1）说明点D在△ABE的外接圆上；
（2）若∠AED=∠CED，试判断直线CD与△ABE外接圆的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）根据题中条件AB=AD，∠BAO=∠DAO，AO=AO可证明△AOB≌△AOD，所以OD=OB，可证点D在△ABE的外接圆上；
（2）根据∠C=90°，可得∠CED+∠CDE=90°；利用∠ODE=∠DEC，可知∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°，即CD与△ABE的外接圆相切．
证明：（1）证法一：∵∠B=90°，
∴AE是△ABE外接圆的直径．
取AE的中点O，则O为圆心，连接OB、OD．
在△AOB和△AOD中，
，
∴△AOB≌△AOD．
∴OD=OB．
∴点D在△ABE的外接圆上．

证法二：∵∠B=90°，
∴AE是△ABE外接圆的直径．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE．
∴∠ADE=∠B=90°．
取AE的中点O，则O为圆心，连接OD，则OD=AE．
∴点D在△ABE的外接圆上．

（2）证法一：直线CD与△ABE的外接圆相切．
理由：∵AB∥CD，∠B=90度．∴∠C=90°．
∴∠CED+∠CDE=90°．
又∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
又∠AED=∠CED，
∴∠ODE=∠DEC．
∴∠ODC=∠CDE+∠ODE=∠CDE+∠CED=90°．
∴CD与△ABE的外接圆相切．

证法二：直线CD与△ABE的外接圆相切．
理由：∵AB∥CD，∠B=90度．∴∠C=90°．
又∵OE=OD，
∴∠ODE=∠OED．
又∠AED=∠CED，
∴∠ODE=∠DEC．
∴OD∥BC．
∴∠ODC=90°．
∴CD与△ABE的外接圆相切．