Question

已知二次函数y=ax²（a＞0）的图象上两点A、B的横坐标分别是-1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为    ．

Answer

把A、B两点横坐标分别代入解析式，求出纵坐标，又因为△AOB是直角三角形，可以利用勾股定理列出关于a的方程，求出a的值，便可利用勾股定理求出各边长，进而得出△OAB的周长．
【解析】
如图所示：过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E，作AC⊥BE于C．
将x=-1、x=2分别代入解析式得，yA=a，yB=4a．
于是BC=4a-a=3a，AC=2-（-1）=3，
所以AB2=（3a）2+32=9a2+9，
又因为在Rt△ADO中，AO2=a2+1，
在Rt△BOE中，OB2=22+（4a）2
当∠AOB=90°时，根据勾股定理，AB2=AO2+BO2
即9a2+9=a2+1+22+（4a）2，解得a=（负值不合题意舍去），
于是AO2=+1=，AO=，
OB2=22+8=12，OB=2，
AB2=AO2+BO2=+12=，AB=，
△OAB的周长为AO+OB+AB=+2+=2+2，
当∠OAB=90°时，AB2+AO2=BO2，即9a2+9+a2+1=22+（4a）2，解得a=1，
于是OA=，OB=2，AB=3，
△OAB的周长为AO+OB+AB=4+2；
当∠OBA=90°时，AB2=AO2-BO2，即9a2+9=a2+1-[22+（4a）2]，无解；
∴△OAB的周长为2+2或4+2．