Question

如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．
（1）请写出P、M两点坐标，并求出这条抛物线的解析式；
（2）设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值；
（3）连接OP、PM，则△PMO为等腰三角形，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外），使得△OPQ也是等腰三角形，简要说明你的理由．

Answer

（1）根据抛物线的顶点P到轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4，知点P的横坐标是OM的一半，即2；点P的纵坐标是4．点M的坐标是（4，0）．根据点P的坐标可以运用顶点式求函数的解析式，再进一步把点M的坐标代入即可．
（2）设C（x，0），则B（4-x，0），D（x，4x-x2），A（4-x，4x-x2）．分别表示出矩形的长和宽，再进一步根据矩形的周长公式进行计算．然后根据二次函数的最值方法进行求解；
（3）根据等腰三角形的定义，可以考虑OP当底时，共有4个点符合条件．
【解析】
（1）根据题意，得P（2，4）；M（4，0）．
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）2+4，
过点M（4，0），则4a+4=0，
∴a=-1，y=-（x-2）2+4=4x-x2，即y=-x2+4x；

（2）设C（x，0），
则B（4-x，0），D（x，4x-x2），A（4-x，4x-x2）．
∵l=2（BC+CD）
=2[（4-2x）+（4x-x2）]
=2（-x2+2x+4）
=-2（x-1）2+10，
∵当x=1时，l有最大值，即l最大值=10；

（3）存在．应该一共存在4个点，OP的垂直平分线与抛物线有两个交点，
以O为圆心，OP为半径作圆，圆与抛物线也有两个交点（除P点以外），
这四个点都符合题意．