Question

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4cm，实验操作：把一等腰直角三角尺45°角的顶点（记为点D），放在BC边上滑动（不与B，C重合），让该角的一边始终过点A，另一边交AC于点E，选取运动过程中的两个瞬间，用量角器分别测出∠BDA与∠CED的大小，并填入下表：

	∠BDA	∠CED
第一次测量结果
第二次测量结果

探索：（1）观察实验结果，猜想∠BDA与∠CED的大小有何关系？并证明你的结论；
（2）设BD=x，AE=y，试求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当点D在BC边上滑动时，△ADE能否成为等腰三角形？若能，求出点D的位置；若不能，请说明理由．（图1供实验操作用，图2备用）

Answer

（1）由三角形的外角的定义、三角形的内角和、等腰直角三角形的性质解决第一问；
（2）证明△ABD和△DCE相似，利用三角形相似的性质可以求出y关于x的函数关系式；
（3）利用△ABD和△DCE始终相似，分AD=AE，AD=DE，AE=DE三种情况讨论，问题得以解决．
【解析】
（1）猜想∠BDA=∠CED．
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠ADC=∠B+∠1=45°+∠2，
∴∠1=∠2，
∵∠BDA=180°-∠1-∠B，∠CED=180°-∠2-∠C，
∴∠CED=∠BDA；

（2）由（1）知：∠BDA=∠CED，∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴=，
即=，
∴y=-x+4（0＜x＜4）．

（3）假设能，分三种情况讨论：
①当AD=AE时，∠AED=∠ADE=45°，所以∠DAE=90°，
此时点D与B重合，这与已知矛盾，所以这种情况不存在；
②当AD=DE时，由△ABD∽△DCE得，
==1，
∴=1，
即4-（-x+4）=x，
解得x1=4-4，x2=0（舍去），
即BD=4-4；
③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=45°，又∠BAC=90°，
∴∠1=∠DAE=45°，
∴BD=BC=2；
综上所知当BD=4-4或2时，△ADE能成为等腰三角形．