Question

如图Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=，点D以每秒4个单位的速度从点B沿BA向终点A移动，点E、F分别在线段BC，AC上，且四边形ADEF是矩形，设AB长为a，运动时间为x，矩形ADEF的面积为y，已知y是x的函数，其图象是过点（1，24）的抛物线的一部分．
（1）求y与x之间的函数关系式（用含a的代数式表示）；并求AB的长；
（2）在（1）的条件下求：
①当x为何值时，矩形ADEF的面积最大，并求出最大值．
②以线段AF为直径作⊙O₁，以线段BE为直径作⊙O₂，根据⊙O₁和⊙O₂的交点个数求相应的x的取值范围．

Answer

先根据三角形的性质，得出AD、DE的表示式，从而得出所求的函数，然后利用抛物线的性质求出AB的长；根据所求的函数，在限定的范围内，根据抛物线的性质可求出最高点，从而求出面积的最大值；根据两圆心之间的距离及半径的关系进行分析即可得出所求．
【解析】
（1）由图形及题意可知：
AD=a-4x，BD=4x，
又tanB=，
所以=，则DE=3x，
因此矩形ADEF的面积为y=AD×DE=（a-4x）×3x=-12x2+3ax，
即y与x之间的函数关系式为y=-12x2+3ax，
又∵y=-12x2+3ax的图象是过点（1，24）的抛物线的一部分，
∴24=-12×1+3a
解得a=12
即AB的长为12；

（2）①由（1）知，y=-12x2+36x
所以y=-12+27，
则知当x=时，矩形ADEF的面积最大，最大值为27；
②AF=DE=3x，BE=5x，
则可知⊙O1的半径为1.5x，⊙O2的半径为2.5x，两圆心之间的距离为12-2x，
当两圆有1个交点时，即4x=12-2x，
解得：x=2
所以当两圆有0个交点时，x＜2；
当两圆有2个交点时，x＜12-2x＜4x
∴2＜x≤3．