Question

如图，∠PAQ是直角，半径为5的⊙O与AP相切于点T，与AQ相交于两点B、C．
（1）BT是否平分∠OBA？证明你的结论；
（2）若已知AT=4，试求AB的长．

Answer

（1）连接OT，AT是切线，则OT⊥AP，可以证明AB∥OT，得到∠TBA=∠BTO，再根据等边对等角得到∠OTB=∠OBT，就可以证出结论；
（2）过点B作BH⊥OT于点H，然后在Rt△OBH中，利用OB=5，BH=AT=4根据勾股定理求出OH，最后即可求出AB．
【解析】
（1）BT平分∠OBA，
证明：连接OT，
∵AT是切线，
∴OT⊥AP；
又∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP，
∴AB∥OT，
∴∠TBA=∠BTO．
又∵OT=OB，
∴∠OTB=∠OBT．
∴∠OBT=∠TBA，即BT平分∠OBA；

（2）过点B作BH⊥OT于点H，则四边形OMBH和四边形ABHT都是矩形．
则在Rt△OBH中，OB=5，BH=AT=4，
∴OH===3，
∴AB=HT=OT-OH=5-3=2．