Question

设二次函数y=-x²+4x-3的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．
（1）求A，B，C的坐标；
（2）在y轴上求作一点M，使MA+MC最小，并求出点M的坐标．

Answer

1、把二次函数的解析式变形成顶点式，得到顶点C的坐标，令y=0．得到点A，B的坐标．
2、由于点A，B的坐标可以互换，故有两种情况，求得点A的关于y轴的对称点A′的坐标后，用待定系数法求得直线A′C的解析式，令x=0，求得直线与y轴的交点M的坐标．
【解析】
（1）∵y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴顶点C（2，1），
令y=0．即-（x-2）2+1=0，
∴（x-2）2=1，x-2=±1，x=3或1，
∴函数与x轴交点坐标为（3，0）或（1，0），
∴A（3，0），B（1，0），C（2，1）或A（1，0），B（3，0），C（2，1）．
（2）①当A坐标为（3，0）时，A关于y轴对称点A′（-3，0），
设A′C的解析式为y=kx+b，
∴k=，b=，
∴A′C的解析式为y=x+，与y轴交点为M（0，），
∴M在y轴上，使MA+MC最小时M点坐标为（0，）；
②当A坐标为（1，0）时，同理可求得M坐标为（0，）
∴满足题意的M点坐标为（0，）或（0，）．