Question

如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．

（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；

（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．

Answer

【解析】
（1）AF与圆O的相切。理由为：

如图，连接OC，

∵PC为圆O切线，∴CP⊥OC。

∴∠OCP=90°。

∵OF∥BC，

∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB。

∵OC=OB，∴∠OCB=∠B。∴∠AOF=∠COF。

∵在△AOF和△COF中，OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，

∴△AOF≌△COF（SAS）。∴∠OAF=∠OCF=90°。

∴AF为圆O的切线，即AF与⊙O的位置关系是相切。

（2）∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF。

∵OA=OC，∴E为AC中点，即AE=CE=AC，OE⊥AC。

∵OA⊥AF，∴在Rt△AOF中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5。

∵S△AOF=•OA•AF=•OF•AE，∴AE=。

∴AC=2AE=。

【解析】

试题分析：（1）AF与圆O的相切，理由为：连接OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到CP垂直于OC，由OF与BC平行，利用两直线平行内错角相等，同位角相等，分别得到两对角相等，根据OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对角相等，再由OC=OA，OF为公共边，利用SAS得出△AOF与△COF全等，由全等三角形的对应角相等及垂直定义得到AF垂直于OA，即可得证。

（2）由AF垂直于OA，在RtAOF中，由OA与AF的长，利用勾股定理求出OF的长，而OA=OC，OF为角平分线，利用三线合一得到E为AC中点，OE垂直于AC，利用面积法求出AE的长，即可确定出AC的长。