Question

如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．

（1）求证：CT为⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．

Answer

【解析】
（1）证明：连接OT，

∵OA=OT，∴∠OAT=∠OTA。

又∵AT平分∠BAD，∴∠DAT=∠OAT。∴∠DAT=∠OTA。

∴OT∥AC。

又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT。

∵OT是⊙O的半径，∴CT为⊙O的切线。

（2）过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，

∵CT⊥AC，∴OE∥CT。∴四边形OTCE为矩形。

∵CT=，∴OE=。

又∵OA=2，

∴在Rt△OAE中，。

∴AD=2AE=2。

【解析】

试题分析：（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线。

（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解。