Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．

（1）当点D运动到线段AC中点时，DE=         ；

（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=        时，⊙C与直线AB相切．

Answer

（1）；（2）或

【解析】

试题分析：（1）∵∠C=90°，∠A=30°，，∴BC=，AC=。

∵∠C=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC。

∵D为AC中点，∴E为AB中点。∴DE=。

（2）过C作CH⊥AB于H，

∵∠ACB=90°，BC=，，AC=6，

∴由三角形面积公式得： BC•AC=AB•CH，解得CH=3。

分为两种情况：

①如图1，∵CF=CH=3，∴AF=6－3=3。

∵A和F关于D对称，∴DF=AD=。

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB。∴，即，解得DE=。

②如图2，∵CF=CH=3，∴AF=6+3=9。

∵A和F关于D对称，∴DF=AD=。

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB。

∴，即，解得DE=。

综上所述，当DE=或时，⊙C与直线AB相切。