Question

如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经

过点A、C、B的抛物线的一部分C₁与经过点A、D、B的抛物线的一部分C₂组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C₂：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．

Answer

【解析】
（1）令y=0，则 ， 

∵m＜0，∴，解得：， 。

∴A（，0）、B（3，0）。

（2）存在。理由如下：

 ∵设抛物线C1的表达式为（），

把C（0，）代入可得，。    

                 ∴Ｃ1的表达式为：，即。    

   设P（p，），

∴ S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC =。

∵<0，∴当时,S△PBC最大值为。

（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），

∴BD2=，BM2=，DM2=。

∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：

当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2 ，即＋=，

解得：,  (舍去)。 

当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2 ，即＋=，

解得：， (舍去) 。  

综上所述， 或时，△BDM为直角三角形。

【解析】（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标。

（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC + S△BOP –S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值。

（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值。