Question

如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点O在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？

（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？

Answer

【解析】
（1）∵A（0，2）为抛物线的顶点，∴设y=ax2+2。

∵点C（3，0），在抛物线上，∴9a+2=0，解得：。

∴抛物线的解析式为；。

（2）若要四边形OEAE′是菱形，则只要AO与EE′互相垂直平分，

∴EE′经过AO的中点，∴点E纵坐标为1，代入抛物线解析式得：，

解得：。

∵点E在第一象限，∴点E为（，1）。

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得。

∴BC的解析式为：。

设直线EO的解析式为y=ax，将E点代入，可得出EO的解析式为：。

由，得：，

∴直线EO和直线BC的交点坐标为：（，）。

∴Q点坐标为：（，0）。

∴当Q点坐标为（，0）时，四边形OEAE′是菱形。

   （3）设t为m秒时，PB∥DO，又QD∥y轴，则有∠APB=∠AOE=∠ODQ，

又∵∠BAP=∠DQO，则有△APB∽△QDO。

∴。

由题意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，

又∵点D在直线y=﹣x+3上，∴DQ=3m。

∴，解得：。

经检验：是原分式方程的解。

∴当t=秒时，PB∥OD。

【解析】（1）根据顶点式将A，C代入解析式求出a的值，进而得出二次函数解析式。

（2）利用菱形的判定得出AO与EE′互相垂直平分，利用E点纵坐标得出x的值，进而得出BC，EO直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出Q点坐标，即可得出答案。

（3）首先得出△APB∽△QDO，进而得出，求出m的值，进而得出答案。